کاربرد گره های سینوسی کسینوسی

کاربرد نمودار توابع مثلثاتی در زندگی

ریاضیات علمی حیاتی است که دیدگاه بهتری درباره اتفاقات جهان واقع به ما می دهد.ریاضی تفکر انتقادی را بهبود می بخشد و باعث توانایی حل مساله می شود. یک بخش مهم استدلال ریاضی و هندسی بخش مثلثات است که به مطالعه خواص مثلث می پردازد. با اینکه مثلث یکی از ساده ترین اشکال هندسی است،اما کاربردهای متنوعی دارد. کاربرد عمده مثلثات در مطالعات علمی ای است که در آن نیاز به اندازه گیری دقیق احساس می شود

حال بررسی میکنیم که مثلثات چگونه در فعالیت های روزانه ما خود را جای می دهد و چگونه می توانیم از آن برای حل و فصل مشکلاتی که ممکن است باآن روبرو شویم استفاده کنیم. اگرچه بعید است که هرگز نیاز به اعمال یک تابع مثلثاتی در حل یک مسئله عملی به طور مستقیم باشد ،اما اکثرعلوم پایه استفاده از آنرا ایجاب می کند.

زمینه های مختلفی که در آن از مثلثات استفاده می شود ، آکوستیک ، معماری ، نجوم (و از این رو ناوبری ، بر روی اقیانوس ها ، در هواپیما و در فضا ) ، زیست شناسی ، کارتوگرافی ، شیمی ، مهندسی عمران ، کامپیوتر گرافیک ، ژئوفیزیک ، کریستالوگرافی ، اقتصاد (به ویژه در تجزیه و تحلیل بازارهای مالی) ، مهندسی برق ، الکترونیک ، علم مساحی و نقشه برداری زمین ، بسیاری از علوم فیزیکی ، مهندسی مکانیک ، ماشینکاری ، تصویربرداری پزشکی (CT اسکن و سونوگرافی) ، هواشناسی ، نظریه موسیقی ، تئوری اعداد (از جمله رمزنگاری) ، اقیانوس شناسی ، اپتیک ، فارماکولوژی ، فتونیک ، تئوری احتمال ، روان شناسی ، زلزله شناسی ، آمار ، و ادراک دیداری ، آموزش و پرورش.

کشتی رانی:

بطلمیوس جداول مثلثاتی را برای ناوبری در اوایل قرن اول مورد استفاده قرار داد. کریستف کلمب در طول سفرهای خود به دنیای جدید ، از آن استفاده کرد.مثلثات به درک موقعیت مان بر سطح سیاره کروی کمک می کند. نقشه برداران از توابع مثلثاتی در هنگام ساخت نقشه و تجزیه و تحلیل برای پروژه های ساخت و ساز استفاده می کنند.

مثلثات بطور گسترده در محاسبات مربوط به مختصات دکارتی استفاده می شود.مثلا در کشتی رانی. مختصات دکارتی را می توان برای نشان دادن جهات شمال ، جنوب ، شرق و غرب مورد استفاده قرار داد. بردارها و جهت را می توان با استفاده از مثلثات نشان داد.فرض کنید می خواهید فاصله تان را از محلی در یک مایلی جنوب و سه مایلی غرب از جایی که فعلا هستید پیدا کنید.در اینجا چیزی چز مثلثات به کارتان نمی آید.

موسیقی:

درک موسیقی در شما با برداشت کامپیوتر ودستگاههای الکترونیکی متفاوت است. الگوی کامپیوتر از موسیقی به صورت تابع سینوسی یا کسینوسی است. کامپیوتر موسیقی را به کمک ریاضیات توسط امواج صوتی تشکیل دهنده آن تحلیل می کند. و این بدان معنی است که مهندسین صدا و فناوری و حتی آهنگ سازان برای پیشرفت در زمینه موسیقی کامپیوتری به مثلثات نیاز دارند.

معماری:

مثلثات در معماری مدرن دخالت مستقیم دارد. زیبایی سطوح منحنی در فولاد ، سنگ و شیشه غیر ممکن خواهد بود اگر از پتانسیل فوق العاده ای از علم ریاضی و مثلثات برخوردار نباشد. این کار در واقع به این صورت است که سطوح درحقیقت مسطح وصاف هستند اما در یک زاویه نسبت به یکدیگر واقع شده اند و برداشت چشم ما آن را یک سطح منحنی نشان می دهد.

تصویربرداری:

تصویربرداری دیجیتال یکی دیگراز تاثیرپذیری های زندگی واقعی از این علم شگفت انگیزاست. درک نسل کامپیوتر از تصاویر پیچیده با استفاده از الگوهای هندسی که تعریف دقیق محل و رنگ هر یک از بی نهایت نقطه ای که تصویررا می سازند تعریف شده است. تصویر دقیق و صحیح توسط تکنیکی برگرفته از مثلثات ساخته شده است. هرنقطه از تصویربه صورت یک قاب مثلثی تعریف میشودو جمع این نقاط منجر به یک تصویر واقعی است.

تصویربرداری پزشکی:

درتصویربرداری های پزشکی نیز ازمفهوم مثلثات استفاده می شود. شاید باور نکنید توابع سینوسی و کسینوسی که شما در مدرسه می آموزید چگونه کاربردی عملی در تکنیکهای پزشکی مانند CT اسکن (تحلیل به کمک رایانه) و MRI در تشخیص تومورها و حتی در درمان لیزری پیدا می کند. واین دیدگاه که تحصیل در رشته ریاضی تنها ارزش دانشگاهی دارد آیا نیازمند دلایل دیگر است که بداند چگونه مثلثات زندگی را راحت تر می سازد؟

دکوراسیون و تقارن:

مثلثات و تعیین زاویه بطور غیر مستقیم حتی در دکوراسیون و تقارن بخشی به محیط کار یا زندگی مان نقش دارد.

کوهنوردی. گردشگری. هواشناسی. اطلاعات پرواز:

آیا میدانستید که از علم هنرمندانه مثلثات برای بررسی ارتفاع کوه ها استفاده می شود؟ ممکن است از خود بپرسید چه نیازی به دانستن ارتفاع کوه ها وجود دارد. این اطلاعات از ارزش زیادی برای طراحی و ناوبری هواپیما ها برخوردارند.همچنین در هواشناسی و جغرافیا و کوه نوردی. ممکن است تعجب کنید که چقدر این اطلاعات برای راهنمایی گردشگران بکار می آید، به عنوان مثال برای کسانی که شرایط پزشکی آنها را از مسافرت به ارتفاعات بسیار بالا منع میکند. بنابراین آنهاباید ارتفاع دقیق را برای کوه پیمایی ایمن بدانند.

ستاره شناسی:

مثلثات در ابتدا برای کمک به ستاره شناسی متولد شد. مثلثات پایه به منجمان اجازه داد تا به تمام اطلاعات درباره سیارات و ستارگان از جمله فاصله ، جرم ، مدار و سرعت دست یابند. توابع مثلثاتی به ما در استنباط این چیزهاکه درک ساده ای درباره آن نداریم یاری می دهد. از آنجا که محاسبات نجومی در مقیاسهای بسیار بزرگتر از چیزهایی است که بر روی زمین وجود دارد ،در عمل ریاضیات تنها راه مقابله و درک و محاسبه آنهاست. بدون مثلثات شعاع دانش ما برای پر کردن شکاف های علم بسیار اندک خواهد بود.

فیزیک:

مثلثات نقش عظیمی در تمامی زمینه های فیزیک ایفا می کند. به عنوان مثال در نظر بگیرید که رادیو ، مایکروویو ، و امواج الکترومغناطیسی همه با توابع مثلثاتی از قبیل سینوسی و کسینوسی ، اندازه گیری و رسم سر وکار دارند.موقعیت جسم در فضای سه بعدی و ماهیت آن که موضوعی حیاتی در فیزیک است کاملا وابسته به ریاضی و مثلثات و تعیین زاویه است.

مثلثات در فضا:

مهم ترین روشی که درمطالعه فضانوردان مورد استفاده قرار می گیرد مثلثات است.

۱. محاسباتی همچون فاصله زمین از یک ستاره خاص ، فاصله بین دو ستاره شناخته شده و ..توسط فضانوردان و گروه حمایت کننده زمینی بکار می آید.برای محاسبه سرعت نفربر فضایی و یا یک جسم خاص آسمانی در حال حرکت نیز از مثلثات و ریاضی استفاده می شود.

۲.طالعه یک ستاره خاص و یا مدار سیاره را می توان با استفاده از مثلثات انجام داد.

۳. یک جنبه مهم از کار انجام شده توسط فضانوردان شامل استفاده از اختراعات مکانیکی و دست سازه ها و رباتهاست که بی شک ارتباط تنگاتنگی با تعیین زاویه درست به کمک مثلثات دارند.

مثلثات در مهندسی:

گر بخوهید چیزی را بسازید باید از ابعاد و نحوه ساخت آن اطلاع داشته باشید. به عنوان مثال ، هنگام تحصیل در رشته مهندسی عمران ، شما باید محاسبه توزیع نیرو برای سازه های مختلف ، از جمله پل،ستون خرپا،..را یادبگیرید. همچنین باید از زاویه های پل و آن قوانینی از ریاضیات که باعث استحکام پل و جلوگیری از فرو ریختنش میشود آگاهی داشته باشید.

مهندسی ساخت هواپیما:

مهندسین پرواز نیازبه محاسباتی از جنس مثلثات دارند. آنها را به محاسبه سرعت ، فاصله و جهت خود ، همراه با سرعت و جهت باد نیاز دارند. باد نقش مهمی در کیفیت پرواز دارد.از بردار هایی که نیروی باد و نیروهای بازدارنده ایجاد میکنند برای محاسبات پرواز استفاده می شود.

تعمیر و نگهداری هواپیما و مهندس طراحی هواپیما حرفه ای است که از قانون سینوس ها بهره می برد. این مهندس باید سرعت هواپیما و همچنین سرعت هوا در آن را تا حد ممکن آیرودینامیکی را محاسبه نماید.او ازقوانین سینوس و کسینوسبرای محاسبات و اندازه گیری هایش استفاده می کند.

آموزش ریاضی باعث می شود درموقعیت های پیچیده توانایی حل مشکل داشته باشیم.از جمله تقسیم بندی و جور کردن و نتیجه گیری.استفاده از قوانین اساسی ریاضی و هندسه بسیار زیاد است.نه تنها ریاضیات در زندگی روزمره بکار می آید بلکه برای مسائل پیش رو نیز به انسان ایده می بخشد

مفاهیم سینوس، کسینوس و تانژانت برابر با نسبت اضلاع یک مثلث قائم‌الزاویه تعریف می‌شوند. در زیر مثلثی قا‌ئم‌الزاویه و توابع مثلثاتی مربوط به آن تعریف شده‌اند.

سینوس، کسینوس و تانژانت به‌ترتیب با نماد‌های cos ،sin و tan نمایش داده می‌شوند. توجه داشته باشید که برای یک زاویه‌ θ ثابت، این مقادیر ثابت هستند؛ دلیل این امر، افزایش همزمان صورت و مخرج آن‌ها است. در ادامه مثالی ذکر شده که جهت درک بهتر این مفاهیم، مطالعه آن ضروی است.

مثال ۱

مثلثی را مطابق با شکل زیر در نظر بگیرید.

با توجه به شکل فوق، مقادیر sin 35^۰ ،cos 35^۰ وtan 35^۰ را بدست آورید.

طبق تعریف انجام شده در بالا، مقدار سینوس ۳۵ درجه (sin 35^۰) برابر است با:

هم‌چنین مقادیر Cos 35^۰ و tan 35^۰ نیز برابرند با:

ماشین‌ حساب‌های مهندسی و علمی نیز قابلیت محاسبه مقادیر مثلثاتی – یا همان سینوس، کسینوس و تانژانت – را دارند. البته توجه داشته باشید که یک زاویه را می‌توان در دو حالت رادیان یا درجه بیان کرد. برای نمونه ۳.۱۴ رادیان برابر با ۱۸۰ درجه است.

جهت به‌خاطر سپردن، می‌توانید از شکل‌های زیر استفاده کنید. در این اشکال، از فلش‌های صورتی رنگی استفاده شده که ابتدای آن اندازه ضلع قرار گرفته در صورت و انتهایش اندازه ضلعِ مخرجِ کسر را نشان می‌دهد.

توجه داشته باشید که مقادیر سینوس و کسینوس کمتر از ۱ و بیشتر از ۱- هستند؛ اما مقدار تانژانت می‌تواند از منفی بینهایت تا مثبت بینهایت تغییر کند.

مثال ۲

با توجه به شکل زیر، مقادیر سینو‌س، کسینوس و تانژانت زاویه ۳۰ درجه را بدست آورید.

با توجه به طول‌های نشان داده شده در شکل فوق می‌توان گفت:

می‌توانید مقادیر به‌دست آمده در بالا را با استفاده از ماشین‌ حساب چک کنید.

مثال ۳

سینوس، کسینوس و تانژانت زاویه ۴۵ درجه را با توجه به شکل زیر بدست آورید.

در زاویه ۴۵ درجه، مثلث، همزمان قائم‌الزاویه و متساوی‌ الساقین است؛ بنابراین طولِ اضلاع مجاور و مقابل با هم برابر هستند. از این رو همان‌طور که در ادامه نیز محاسبه شده مقادیر سینوس و کسینوس با هم برابر بوده و مقدار تانژانت نیز برابر با ۱ است. در حقیقت این مقادیر برابرند با:

در جدول زیر توابع مثلثاتی برای زوایای پرکاربرد در امتحانات، ذکر شده است. پیشنهاد می‌شود جدول مذکور را به خاطر بسپارید.

بدیهی است که حفظ کردن ۱۵ عدد به نظر دشوار می‌رسد؛‌ از این رو روشی را ارائه می‌دهیم که با استفاده از آن می‌توان مقادیر سینوس و کسینوس را محاسبه کرد. در نتیجه با داشتن این دو مقدار و تقسیم آن‌ها به یکدیگر، مقدار تانژانت نیز قابل محاسبه خواهد بود. انگشت کوچک تا شست را به ترتیب با اعداد ۰ تا ۴ نا‌مگذاری کنید. همانند شکل زیر، این انگشتان را به‌ترتیب در زوایای ۰، ۳۰، ۴۵، ۶۰ و ۹۰ درجه در نظر بگیرید.

به‌منظور محاسبه سینوسِ یک زاویه، از شماره انگشت مرتبط با آن جذر گرفته و بر ۲ تقسیم کنید. برای نمونه فرض کنید می‌خواهید سینوس ۳۰ درجه را محاسبه کنید. همان‌طور که در شکل زیر نیز مشخص شده، انگشت شماره ۱ در زاویه ۳۰ درجه قرار دارد، بنابراین سینوس این زاویه برابر است با:

به‌منظور محاسبه کسینوس نیز دقیقا همین کار را به‌صورت عکس انجام دهید؛ یعنی شماره انگشت شست برابر با صفر و انگشت کوچک برابر با ۴ است. فرض کنید می‌خواهید کسینوس ۳۰ درجه را محاسبه کنید. همان‌گونه که در شکل فوق می‌بینید شماره ۳ در زاویه ۳۰ درجه قرار دارد (اعداد قرمز رنگ مربوط به محاسبه کسینوس هستند). در نتیجه کسینوس زاویه ۳۰ درجه برابر است با:

چرا این مفاهیم مهم هستند؟

به راستی چرا این‌ مفاهیم تعریف شده و دارای اهمیت‌اند؟ البته این مفاهیم دارای کاربرد‌های فراوانی هستند؛ اما اصلی‌ترین دلایل آن‌ها موارد زیر هستند.

• با دانستن زاویه یک کمیت می‌توان اندازه آن را یافت.
• با دانستن اندازه یک کمیت –برداری– می‌توان زاویه آن را یافت.

شاید بیان بالا برای شما کمی گیج‌کننده باشد؛ از این رو پیشنهاد می‌کنیم که حتما مثال زیر را مطالعه فرمایید.

مثال ۴

با استفاده از مفهوم سینوس، اندازه d را در شکل زیر بیابید.

فرضیات و مجهول این مسئله به شرح زیر هستند:

• زاویه کابل با سطح افقی آب برابر با ۳۹ درجه است.
• طول کابل برابر با ۳۰ متر است.
• ?=d

همان‌طور که در شکل نیز مشخص شده می‌توان مثلث قائم‌الزاویه‌ای در نظر گرفت که در آن طولِ کابل برابر با وتر، فاصله d برابر با ضلع مقابل و فاصله افقی تا کشتی، برابر با ضلع مجاورِ زاویه ۳۹ درجه است.

در ابتدا با استفاده از ماشین‌ حساب سینوس زاویه ۳۹ درجه برابر با ۰.۶۲۹۳ بدست می‌آید. در حقیقت:

با ضرب کردن دو طرف رابطه بالا در عدد ۳۰، می‌توان گفت:

بنابراین اندازه d برابر با ۱۸.۸۸ متر بدست می‌آید.

دیگر توابع

توجه داشته باشید که در مثلثات توابع دیگری نیز وجود دارند که کمتر متداول هستند. این توابع سِکانت، کُسِکانت و کُتانژانت هستند که هرکدام از آن‌ها با استفاده از روابط زیر تعریف می‌شوند:

رابطه بالا می‌گوید:

• سکانت = معکوس کسینوس
• کسکانت = معکوس سینوس
• کتانژانت = معکوس تانژانت